Julia 線性代數(shù)
2018-08-12 21:26 更新
線性代數(shù)
矩陣分解
矩陣分解是將一個矩陣分解為數(shù)個矩陣的乘積，是線性代數(shù)中的一個核心概念。
下面的表格總結(jié)了在 Julia 中實現(xiàn)的幾種矩陣分解方式。具體的函數(shù)可以參考標(biāo)準(zhǔn)庫文檔的 Linear Algebra章節(jié)。
| Cholesky | Cholesky 分解 |
| CholeskyPivoted | 主元 Cholesky 分解 |
| LU | LU 分解 |
| LUTridiagonal | 三對角矩陣的 LU 因子分解 |
| UmfpackLU | 稀疏矩陣的 LU 分解（使用 UMFPACK 計算） |
| QR | QR 分解 |
| QRCompactWY | QR 分解的緊湊 WY 形式 |
| QRPivoted | 主元 QR 分解 |
| Hessenberg | Hessenberg 分解 |
| Eigen | 特征分解 |
| SVD | 奇異值分解 |
| GeneralizedSVD | 廣義奇異值分解 |
特殊矩陣
線性代數(shù)中經(jīng)常碰到帶有對稱性結(jié)構(gòu)的特殊矩陣，這些矩陣經(jīng)常和矩陣分解聯(lián)系到一起。Julia 內(nèi)置了非常豐富的特殊矩陣類型，可以快速地對特殊矩陣進(jìn)行特定的操作.
下面的表格總結(jié)了 Julia 中特殊的矩陣類型，其中也包含了 LAPACK 中的一些已經(jīng)優(yōu)化過的運算。
| Hermitian | 埃爾米特矩陣 |
| Triangular | 上/下三角矩陣 |
| Tridiagonal | 三對角矩陣 |
| SymTridiagonal | 對稱三對角矩 |
| Bidiagonal | 上/下雙對角矩陣 |
| Diagonal | 對角矩陣 |
| UniformScaling | 縮放矩陣 |
基本運算
| 矩陣類型 | + | - | * | \ | 其它已優(yōu)化的函數(shù) |
|---|---|---|---|---|---|
| Hermitian | XY | inv, sqrtm, expm | |||
| Triangular | XY | XY | inv, det | ||
| SymTridiagonal | X | X | XZ | XY | eigmax/min |
| Tridiagonal | X | X | XZ | XY | |
| Bidiagonal | X | X | XZ | XY | |
| Diagnoal | X | X | XY | XY | inv, det, logdet, / |
| UniformScaling | X | X | XYZ | XYZ | / |
圖例：
| X | 已對矩陣-矩陣運算優(yōu)化 |
|---|---|
| Y | 已對矩陣-向量運算優(yōu)化 |
| Z | 已對矩陣-標(biāo)量運算優(yōu)化 |
矩陣分解
| 矩陣類型 | LAPACK | eig | eigvals | eigvecs | svd | svdvals |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Hermitian | HE | ABC | ||||
| Triangular | TR | |||||
| SymTridiagonal | ST | A | ABC | AD | ||
| Tridiagonal | GT | |||||
| Bidiagonal | BD | A | A | |||
| Diagonal | DI | A |
圖例：
| A | 已對尋找特征值和/或特征向量優(yōu)化 | 例如 eigvals(M) |
|---|---|---|
| B | 已對尋找 ilth 到 ihth 特征值優(yōu)化 | eigvals(M, il, ih) |
| C | 已對尋找在 [vl, vh] 之間的特征值優(yōu)化 | eigvals(M, vl, vh) |
| D | 已對尋找特征值 x=[x1, x2,...] 所對應(yīng)的特征向量優(yōu)化 | eigvecs(M, x) |
縮放運算
一個 UniformScaling 運算符代表了一個單位算子的標(biāo)量次數(shù), λ*I。單位算子 I 被定義為一個常量且是 UniformScaling 的一個實例。 這些運算符的尺寸是一般大小，可匹配 +,-,* 和 \ 等其它二元運算符中的矩陣。對于 A+I 和 A-I 這意味著 A 必須是一個方陣. 使用了單位算子 I 的乘法運算是一個空操作(除非縮放因子為一) ，因此基本沒有開銷。
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